从椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线恰好通过椭圆的一个焦点，

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/06 15:42:43
椭圆长轴端点A和短轴端点B的连线平行于OP，若过点F2作直线与AB垂直切与该椭圆交于M、N两点，当三角形F1MN面积为20根号3时，求椭圆方程

过程哟~拜托了~
(答案是x^2/a^2+y^2/b^2=1)

解：设A为长轴左端点，B短轴上端点，
k（OP）=k（AB）=b/a，k（MN）=-a/b。

直线MN的方程为

x=-√2y+b……（1）

因为点P向x轴作垂线恰好通过椭圆的一个焦点，

所以P点的坐标为（c，bc/a），代入椭圆方程，

化简得c^2/a^2=1/2,即a^2=2·c^2,故b=c。

原椭圆方程可化成

x^2/（2·b^2）+y^2/b^2=1……（2）

联立（1）（2），化简，得

4·y^2-2√2·b·y-b^2=0……（3）

又S（△F1MN）=1/2·2c·|△y|
=c·√[(y1+y2)^2-4·y1·y2]
=c·√[2·b^2+b^2]
=√3·b^2=20√3

故b^2=20√2,a^2=40√2，代入原椭圆方程，得

x^2/40√2+y^2/20√2=1